Гипотеза Римана на протяжении 167 лет остаётся одной из наиболее сложных нерешённых проблем в математике. Бернхард Риман выдвинул предположение о том, что кажущееся случайным размещение простых чисел в действительности следует строгой математической логике, которая связана с дзета-функцией Римана. За решение этой задачи объявлена премия размером в один миллион долларов, но математики так и не смогли найти окончательное доказательство. В настоящее время учёные переложили часть задачи на квантовый процессор: определённые нули дзета-функции в разработанной ими физической системе соответствуют динамическим фазовым переходам в квантовой области.

Для того чтобы понять суть проведённого эксперимента, необходимо разобраться с самой функцией. Дзета-функция Римана ζ(s) зависит от комплексного числа s = σ + it. Данное число состоит из действительной части σ и мнимой части t, умноженной на мнимую единицу i, где i² = -1. При σ > 1 функцию можно представить как бесконечный ряд:

ζ(s) = 1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ...

Для других значений аргумента, за исключением особой точки s = 1, математики применяют метод аналитического продолжения, который позволяет расширить область определения функции за пределы первоначально сходящегося ряда.

Основная загадка связана с нулями дзета-функции, то есть такими значениями s, при которых ζ(s) равна нулю. Определённая часть нулей давно известна учёным: функция обращается в ноль при отрицательных чётных числах -2, -4, -6 и далее по этой последовательности. Эти нули называют тривиальными. Гипотеза Римана касается всех остальных, нетривиальных нулей, которые находятся в критической полосе 0 < σ < 1.

Риман предположил, что действительная часть любого нетривиального нуля всегда составляет 1/2. Другими словами, все нетривиальные нули должны располагаться на критической прямой Re(s) = 1/2. Современные компьютеры уже проверили огромное количество нулей и до сих пор не нашли ни одного исключения, однако проверка конечного числа значений не равнозначна математическому доказательству для бесконечного множества. Достаточно одного нетривиального нуля с действительной частью, отличной от 1/2, чтобы опровергнуть гипотезу и претендовать на премию Института Клэя в миллион долларов.

Интерес к этим нулям обусловлен не только самой функцией. Их расположение имеет прямую связь с распределением простых чисел, которые делятся нацело только на единицу и на самих себя. По мере увеличения чисел простые числа встречаются всё реже, однако промежутки между соседними простыми числами не образуют простую периодическую последовательность. Дзета-функция позволяет описывать скрытые закономерности в этом распределении, а расположение её нетривиальных нулей определяет точность многих вычислений в теории простых чисел.

Более столетия эта задача оставалась исключительно математической. Неожиданная связь с физикой появилась в 1972 году, когда математик Хью Монтгомери обсуждал дзета-функцию с физиком Фрименом Дайсоном. Статистическое распределение промежутков между расположенными высоко нулями функции оказалось аналогично статистическим закономерностям энергетических уровней сложных квантовых систем, которые исследуют при помощи теории случайных матриц.

Это совпадение привело к давней идее: возможно, найдётся квантовая система, спектр энергии которой напрямую соответствует нетривиальным нулям дзета-функции. Если обнаружить подходящий физический объект, то математические характеристики нулей можно будет исследовать через его измеряемые показатели. За последующие десятилетия учёные предложили различные варианты такой связи, но найти универсальную систему, энергетические уровни которой точно воспроизводили бы необходимые нули, так и не удалось.

Авторы последней работы пошли другим путём. Вместо поиска подходящего энергетического спектра они установили связь между дзета-функцией и динамикой многочастичной квантовой системы. В их модели взаимодействующие квантовые частицы развиваются во времени, а при определённых значениях параметров система испытывает динамический квантовый фазовый переход.

Обычный фазовый переход знаком нам по превращению воды в лёд или водяной пар, когда изменение температуры переводит вещество из одного состояния в другое. Динамический квантовый фазовый переход работает совсем иначе. Он происходит в ходе неравновесной эволюции квантовой системы и проявляется как резкое изменение определённой физической характеристики в конкретный момент времени. Поэтому пример с водой служит только наглядной аналогией резкого изменения режима, но не является точной моделью процессов внутри квантового процессора.

Исследователи установили соответствие между параметрами квантовой системы и комплексным аргументом дзета-функции. Параметр, аналогичный температуре, кодирует действительную часть s, а время развития системы соотносится с мнимой частью. При определённой комбинации параметров в системе происходит динамический квантовый фазовый переход. Математически этот момент перехода соответствует значению аргумента, при котором дзета-функция имеет нетривиальный ноль.

Такая связь предоставляет физический механизм для поиска возможного нарушения гипотезы Римана. Квантовую систему можно подготовить при параметре, соответствующем действительной части, отличной от 1/2, затем начать эволюцию и следить за фазовыми переходами. Если обнаружится переход при таком значении, это указывает на ноль дзета-функции вне критической прямой Re(s) = 1/2. Обнаруженный и подтверждённый ноль сразу же опровергнет гипотезу.

На данный момент эксперимент не выявил сенсационного контрпримера. Исследование проводили на квантовом процессоре с системой из пяти взаимодействующих элементов, функционирующих в качестве кубитов. Кубит представляет собой основную единицу квантовых вычислений. В отличие от классического бита, который принимает значение 0 или 1, квантовое состояние кубита может находиться в суперпозиции базовых состояний, а несколько связанных кубитов способны образовывать запутанные состояния.

Пять кубитов недостаточно для исследования неизвестных математикам областей дзета-функции. Эксперимент подтвердил корректность предложенной методики на уже известных нулях. Исследователи не нашли никаких новых нулей вне критической прямой, поэтому гипотеза Римана после проведённого эксперимента остаётся ни доказанной, ни опровергнутой.

Авторы также провели анализ вычислительной сложности данного метода. Предложенный квантовый алгоритм сканирует область поиска нулей более эффективно, чем используемый для сравнения классический метод, и требует ресурсов, объём которых растёт полиномиально с увеличением размера задачи. Преимущество вытекает из самой структуры подхода: необходимая математическая информация кодируется в динамике квантовой системы, а поиск нулей связывается с выявлением фазовых переходов.

Практическая применимость этой методики будет определяться возможностью масштабирования квантового оборудования. По прогнозам исследователей, система примерно из 100 кубитов сможет исследовать больше нулей, чем доступно существующим вычислительным подходам в рассмотренной ими постановке задачи. Даже такой результат не станет доказательством гипотезы, поскольку проверка любого конечного числа нулей оставляет бесконечно много неисследованных значений. Однако квантовый процессор получит возможность искать возможный контрпример в диапазоне, который недостижим для выбранного классического алгоритма.

Идея связать теорию чисел с квантовыми вычислениями возникла у авторов примерно десять лет назад после изучения работ, посвящённых формуле обращения Мёбиуса. Эта формула применяется в теории чисел для восстановления одной арифметической функции на основе сумм значений другой функции по делителям числа. После ознакомления с квантовым подходом к этой математической конструкции исследователи задумались о том, возможно ли также связать квантовую систему с гипотезой Римана.

Последняя работа развивает научное направление, которое появилось после классического наблюдения Монтгомери и Дайсона более пятидесяти лет назад. Однако квантовый эксперимент не может заменить строгого математического доказательства и пока не привёл к открытию неизвестных нулей. Его результат намного более конкретен: исследователи создали физическую систему, в которой параметры дзета-функции кодируются в квантовой динамике, а её нули соответствуют динамическим квантовым фазовым переходам. Следующая практическая цель зависит от количества имеющихся кубитов: при увеличении до примерно 100 элементов установка сможет исследовать область, которая находится за пределами возможностей используемого для сравнения классического метода.