Представьте упругий шар в пинбольном автомате. С каждым столкновением с препятствием его траектория становится всё менее предсказуемой. Однако в исключительных случаях, когда совпадают определённые начальные условия и скорость, шар может неограниченное время отскакивать между несколькими препятствиями, оставаясь в ограниченной области. Классическая физика допускает такой сценарий. Квантовая частица ведёт себя совершенно по-другому: волновая функция, которая её описывает, не может постоянно оставаться в пределах узкого набора допустимых путей. Математическое сообщество почти десять лет искало строгое доказательство этого принципа для сложных систем большой размерности, и недавно решение было найдено.
Ключ к пониманию сложности задачи лежит в концепции фракталов. Фрактал — это структура, которую можно получить посредством многократного применения одного простого правила. Классический пример, множество Кантора, начинается с обычного отрезка прямой. Отрезок делится на три равные части, и средняя часть удаляется. Затем каждый из двух оставшихся отрезков снова делится на три части с удалением центральной части. Этот процесс продолжается бесконечно. В результате образуется множество с промежутками всех размеров, видимыми при любом увеличении масштаба.
Подобная структура возникает и при анализе пинбольной системы. Рассмотрим все начальные условия, при которых шар никогда не покидает область между тремя препятствиями. Каждый путь либо выводит объект из зоны, либо оставляет его в ней. После исключения всех траекторий, которые в конечном итоге приводят к выходу, остаётся редкое множество приемлемых путей. Точки столкновений образуют фрактальную структуру: между допустимыми местами постоянно возникают пропуски, и эти пропуски обнаруживаются при увеличении любого участка.
В квантовом мире этот механизм не работает. Классическая механика позволяет говорить о конкретной, определённой траектории объекта. Квантовая механика вместо точной траектории использует волновую функцию — математический объект, который указывает, где может быть обнаружена частица и с какой вероятностью. Поскольку волна распределена в пространстве, полностью ограничить её только тонким фрактальным множеством путей невозможно. Фрактальный принцип неопределённости постулирует, что полная локализация волны на таком множестве невозможна: часть волновой функции неизбежно распространится за границы этого множества.
Название этого принципа связано с известным принципом неопределённости квантовой механики. Положение и импульс частицы невозможно одновременно определить с произвольно высокой точностью. Если уменьшить неопределённость в положении, неопределённость в импульсе возрастёт, и наоборот. Это ограничение связано не с техническими ограничениями приборов, а с математической природой волновых функций.
Этот принцип вытекает из преобразования Фурье. Этот математический инструмент позволяет разложить сложный сигнал на составляющие его простые волны различных частот. Например, звук может содержать основную ноту и множество обертонов. Преобразование Фурье разделяет сигнал на отдельные частотные компоненты. Если затем снова объединить все компоненты с правильными амплитудами и фазами, получится исходный сигнал.
Связь с неопределённостью хорошо видна на акустическом примере. Чистая синусоидальная волна имеет одну точную частоту, но существует бесконечно долго. Короткий удар барабана, напротив, длится мгновение. Из-за короткой длительности он содержит широкий спектр частот, поэтому нельзя выделить одну определённую высоту тона. Чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр частот.
Подобная зависимость наблюдается и в радаре. Короткий импульс позволяет точно определить местоположение объекта, но для измерения его движения требуется более длинный сигнал. Математическая причина снова кроется в преобразовании Фурье. В квантовой механике одна форма волновой функции описывает распределение положения частицы, а преобразование Фурье переводит её в распределение импульса. Поэтому одновременно сузить оба распределения невозможно.
Фрактальный принцип неопределённости развивает ту же идею, но ставит другой вопрос: что происходит, когда волна концентрируется не в малой области, а только в отдельных точках фрактального множества, разделённых пустотами?
Вернёмся к множеству Кантора. Представим, что его точки обозначают разрешённые частоты, а остальные частоты в сигнале почти отсутствуют. Из разрешённых частот можно составить новый сигнал. Фрактальный принцип неопределённости утверждает, что такой сигнал не сможет одновременно сконцентрироваться возле другого столь же разреженного множества в пространстве. Сильная локализация на одной стороне преобразования Фурье препятствует достижению такой же локализации на другой стороне.
Этим и объясняется различие в поведении классического шара и квантовой волны. Для шара достаточно найти одну редкую траекторию, остающуюся в ограниченной области навсегда. Волна состоит из множества взаимосвязанных компонент и не может полностью остаться на фрактальном наборе траекторий. Её часть неизбежно проникнет наружу.
В 2016 году учёные доказали фрактальный принцип неопределённости для одномерных фракталов. Одномерный фрактал представляет собой сложное множество точек на линии. Этот результат позволил изучать некоторые двумерные хаотические системы, поскольку движение в плоскости иногда описывается одномерным набором данных, таким как последовательность мест соударения.
Следующей целью было распространение на двумерные, трёхмерные и многомерные случаи. Математики начали обобщение почти сразу. Осенью 2016 года специалисты со всего мира собрались на специальный семинар в попытке перенести существующее доказательство на многомерный случай. Быстро выяснилось, что простое расширение предыдущего подхода недостаточно. В пространствах большей размерности существуют фракталы, удовлетворяющие старым требованиям, но всё равно нарушающие необходимый принцип.
Проблему можно увидеть на примере ковра Серпинского. Квадрат делится на девять одинаковых малых квадратов, и центральный квадрат удаляется. Затем каждый из восьми оставшихся квадратов делится на девять частей, и снова удаляется центральный. После бесконечного повторения получается узор с отверстиями различных размеров.
На первый взгляд ковёр Серпинского идеально подходит для этой задачи: он содержит множество пустот. Однако среди оставшихся частей сохраняются непрерывные линии, проходящие через всю фигуру. Можно провести линию так, чтобы она никогда не пересекала удалённую область. Именно такие открытые коридоры создают трудность для многомерного фрактального принципа.
Причина снова связана с преобразованием Фурье. В двумерной модели вертикальная линия после преобразования Фурье связана с горизонтальным направлением. При этом сама линия занимает ничтожную часть плоскости, вокруг неё большая часть пространства пустует. Поэтому старое определение пористого множества считает линию допустимой, хотя её наличие позволяет найти контрпримеры, где фрактальный принцип не выполняется.
Потребовалось более строгое условие. Автор новой работы предложил проверять линейную пористость. Суть условия проста: недостаточно иметь дыры в разных местах фрактала. При проведении прямой через множество в любом направлении должны регулярно встречаться пустые участки. Непрерывный путь через всю структуру должен быть невозможен.
Обычный ковёр Серпинского не удовлетворяет этому условию, поскольку через него проходят целые непрерывные линии. Если удалить больше участков и сделать фрактал более разреженным, такие коридоры исчезнут. Новое требование позволило исключить именно те многомерные множества, которые подрывали предыдущие попытки доказательства.
Однако после уточнения определения основная математическая работа только начиналась. Требовалось доказать, что волновая функция и её преобразование Фурье действительно не могут одновременно сосредоточиться около двух таких множеств.
Автор обратился к одномерному доказательству 2016 года. Его основную идею можно описать следующим образом. Предположим, исходная функция состоит из множества узких пиков, расположенных в разрешённых точках фрактала. Математики выделяют один пик и наблюдают, что с ним происходит при преобразовании Фурье. Узкий пик превращается в гораздо более широко распределённую функцию. Затем процедуру повторяют для остальных пиков и анализируют их совместный результат.
Если сложить преобразованные части, результат не может оставаться близким к нулю на большом числе участков. А для фрактальной структуры требуется множество пустых промежутков. Возникает главное противоречие: сильная концентрация исходной функции возле фрактала препятствует тому, чтобы её преобразование Фурье одновременно имело столь же разреженную структуру.
Самый сложный этап состоял в выделении одного пика без разрушения всей математической конструкции. Для этого используется демпфирующая (подавляющая) функция. Название техническое, но суть простая: сохранить интересующий участок функции и максимально подавить остальные.
Это похоже на регулятор громкости, который оставляет один нужный инструмент в записи слышимым, а остальные делает почти неслышными. В математике такой фильтр нельзя настроить приблизительно. Демпфирующая функция должна удовлетворять очень строгим условиям, иначе последующие оценки не будут работать. Для одномерных фракталов нужную конструкцию уже умели строить, но в нескольких измерениях этот способ не переносился.
Решение пришло из неопубликованных заметок, оставшихся от работы над 2016 доказательством. В записях предлагался обходной маршрут через комплексный анализ. Вместо прямого построения требуемой демпфирующей функции можно было сначала создать другой, более гибкий математический объект, а затем использовать его основу для нужного фильтра.
Комплексный анализ изучает функции, использующие комплексные числа. Помимо обычных чисел в них входит мнимая единица (i), определённая как (i²=−1). Для читателя без математической подготовки переход от фракталов к мнимым числам может казаться совершенно посторонним. Однако комплексный анализ предоставляет математикам дополнительные инструменты для строгого управления поведением функций: определение величины функции, скорость её убывания и плавность изменений. Именно такой контроль не хватало для многомерной задачи.
Впоследствии обнаружилось, что идея из заметок связана с теоремой Бёрлинга — Мальявена, известной с 1960-х годов. Новый результат не заключался в открытии самой теоремы. Основная трудность состояла в том, чтобы адаптировать этот классический инструмент к многомерным фракталам и получить функцию с очень точно заданными свойствами. После решения этой части предыдущий одномерный аргумент удалось распространить на многомерный случай.
Первый вариант доказательства появился в мае 2023 года, и в 2025 году его опубликовал журнал Annals of Mathematics. Работа стала частью докторской диссертации автора. После её защиты математик получил должность ассоциированного профессора в возрасте 25 лет. Главный результат состоит в том, что фрактальный принцип неопределённости теперь применим к пространствам любой размерности для фракталов, удовлетворяющих условию линейной пористости.
Новое доказательство быстро нашло применение к другой давней проблеме: описанию волн в хаотических пространствах.
Настоящие хаотические системы исключительно сложно изучать математически. Погодные явления или турбулентное течение воды зависят от огромного количества одновременно меняющихся параметров. Малое различие в начальном состоянии со временем может привести к совершенно разным последствиям. Чтобы разобраться хотя бы в некоторых аспектах хаоса, математики используют упрощённые модели, где расхождение траекторий обусловлено самой геометрией пространства.
Главным примером служат гиперболические пространства. На обычной плоскости две параллельные линии сохраняют постоянное расстояние. В гиперболическом пространстве близкие направления движения быстро разделяются. Два объекта могут начать движение почти идентично, но с течением времени расстояние между ними растёт экспоненциально. Такая чувствительность к малым различиям в начальных условиях делает гиперболическую геометрию удобной моделью для изучения хаоса.
Ещё в 2017 году одномерный фрактальный принцип неопределённости помог ответить на важный вопрос о волнах на гиперболической поверхности. Может ли волна распространяться сколь угодно долго, при этом всегда избегая некоторой области?
Для проверки математики предположили, что такая недоступная область существует. Затем из всех возможных классических траекторий они удалили пути, которые когда-либо пересекают выбранную область. Остались только траектории, способные её избегать бесконечно. Это множество путей оказалось фрактальным, подобно набору вечных траекторий шара между препятствиями.
Затем заработал фрактальный принцип неопределённости. Волна не может полностью локализоваться на оставшемся разреженном наборе путей. Следовательно, предположение о навечно недоступной области неверно. Волна в конце концов распространится туда.
Доказательство 2017 года применялось к двумерным гиперболическим поверхностям подходящего типа. Для пространств большей размерности не хватало многомерного фрактального принципа. После появления новой работы это препятствие исчезло. В 2025 году математики расширили вывод о распространении волн на гиперболические пространства высших размерностей.
Однако более сложный вопрос остаётся нерешённым. Теперь нужно понять не только, доберётся ли волна до каждой области, но и насколько равномерно она распределится по всему пространству.
Разницу можно проиллюстрировать простым примером. Предположим, волна со временем достигла всей поверхности. Отсюда ещё не вытекает, что энергия распределена одинаково. В одних местах волна может быть намного более интенсивной, чем в других. Уже доказанные результаты исключают возможность для волны навсегда остаться в ограниченной части пространства, но не требуют одинаковой интенсивности везде.
Известная гипотеза 1994 года предсказывает более строгое утверждение. Через достаточно долгое время хаотическая квантовая волна должна в крупном масштабе распределяться равномерно. При детальном увеличении можно всё ещё видеть отдельные локальные пики, провалы и сложные колебания. Когда рассматривается система в целом, локальные различия должны нивелироваться. Строгое математическое доказательство этого утверждения пока не получено.
Новая работа закрывает значительный этап пути к решению этой задачи. Классический объект может двигаться бесконечно долго по редкому множеству хаотических траекторий. Квантовая волна не может полностью ограничиться таким фракталом и вынуждена распространяться дальше. Ранее строгий математический аргумент работал только в ограниченном числе измерений. Теперь принцип применим к многомерным системам, и первый результат уже получен: в многомерных гиперболических пространствах волна не может остаться навсегда в пределах фрактального набора траекторий.
