Исследователи математики установили наиболее эффективный метод крепления картины к четырём гвоздям, при котором изображение остаётся на месте при извлечении одного крепления, но неизбежно падает при удалении двух. Специалист Том Верхуфф из технического учреждения Эйндховена определил, что для этого требуется всего 16 витков верёвки. Проведённый компьютерный анализ подтвердил, что в рамках математической модели не существует более короткого решения.
Ключевая особенность заключается в понимании условия «любых». Система крепления должна успешно пройти четыре испытания с поочередным удалением каждого гвоздя, однако должна разрушиться при изъятии любой из шести возможных комбинаций по два гвоздя. Сохранение двух оставшихся элементов не спасает конструкцию благодаря специальному порядку обмотки верёвки.
Исследование началось как подготовка занятий по математике для молодых учащихся. Участники экспериментировали с карабинами вместо гвоздей и реальной верёвкой, одновременно фиксируя свои действия через математические символы. Первоначальная известная схема требовала 80 витков. На учебном занятии её удалось сократить до 58, впоследствии Верхуфф достиг 18 витков, а в сотрудничестве с Йенсом Хёсевелдтом и применением компьютерного поиска обнаружил абсолютный минимум.
Для компьютерной проверки верёвочных систем каждый оборот вокруг гвоздя кодируется отдельным символом. Обороты в противоположных направлениях получают обратные символы. Удаление гвоздя сводится к удалению из записи всех его обозначений. Затем рядом стоящие противоположные обороты исчезают. Если запись полностью стирается, верёвка больше не держит картину.
Цифра 16 обозначает количество оборотов в такой записи, а не реальную длину верёвки. Алгоритм выявил две различные по структуре минимальные конфигурации. Для подтверждения оптимальности все более короткие варианты были исключены, включая нечётные решения, отпавшие на основе математических принципов. Программа объединяла симметричные записи, избегая повторной проверки одной конструкции с переименованными элементами.
Существует более давний и намного более простой вариант этой головоломки. В 1997 году А. Спивак предложил вариант крепления на двух гвоздях, когда извлечение каждого приводит к падению. Впоследствии учёные доказали возможность создания таких конструкций для любого количества гвоздей и любых условий удаления. Однако доказательство существования и нахождение самой короткой схемы оказались совершенно разными задачами.
Расширенный результат позволяет задавать сложные логические условия падения. Например, картина может освобождаться при извлечении одного определённого гвоздя либо при одновременном удалении двух других. Условие состоит в том, что добавочные удаления не должны восстанавливать уже потерянную надёжность. Специалисты обозначают такие условия монотонными булевыми функциями.
Подобные функции применяются в области теории голосования и защиты информации, однако данное исследование не предоставляет новый метод шифрования. Связь функционирует через общие математические принципы. Верёвка и гвозди позволяют физически ощутить систему, реализующую логическое условие.
При практическом воплощении обнаружилась важная деталь. На плоской поверхности с карабинами необходимо тщательно отслеживать, какая часть верёвки находится сверху в точках пересечения. Неточность может привести к образованию другого зацепления, и верёвка останется привязанной к карабину даже после удаления опоры. Даже правильная схема витков не гарантирует успех без тщательного и точного сборки.
